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Eine Herleitung der Formenvielfalt von Epitrochoiden / Epizykloiden

Eine Epitrochoide ist eine (hier rot dargestellte) Kurve. Epitrochoiden werden duch das Abrollen eines (hier gelb dargestellten) Rades um ein (hier grau dargestelltes) feststehendes Rad erzeugt. Der die Kurve erzeugende Punkte kann innerhalb des gelben Rades, auf dem Rand oder (wie in der Abbildung) außerhalb des umlaufenden Rades liegen.

Die Animation startet, wenn der Cursor sich über dem Bild befindet

Die klassische Einteilung


Die klassische Einteilung reicht nicht aus, um die Formenvielfalt der Epitrochoiden zu beschreiben bzw. zu ermitteln.

Um die Formenvielfalt ermitteln zu können sind einige phänomenologische Betrachtungen zur Entstehung einer Eptitrochoide / Epizyloide notwendig:

Wer es genau wissen will, muss das Kapitel 4 meiner Dissertation Einteilung einer eben bewegten Ebene in Felder mit qualitativ gleichen Koppelpunktbahnen unter besonderer Berücksichtigung der Übergangskurve lesen. Alle notwendigen Gleichungen sind dort in der Tabelle 4.1 zusammengefasst. Für alle anderen sollten folgende phänomenologische Betrachtungen ausreichend sein:

Bahnen von Punkten nahe dem Kreismittelpunkt

                 
 
1)

 
 
2)

 
 
3)

Bahnen von Punkten innerhalb des Randes des umlaufenden Rades

                 
 
1)

 
 
2)

 
 
3)

Bahnen von Punkten außerhalb des Randes des umlaufenden Rades

                 
 
1)

 
 
2)

 
 
3)

Bahnen von Punkten außerhalb der (ersten) Übergangskurve

                 
 
1)

 
 
2)

 
 
3)
 
 
4)

Berechnen der Anzahl von Selbstschnittpunkten einer Epitrochoide bzw. einer Epizykloide (editierbar)

 
Beispiel: Radius des feststehenden Rades rR = (iZ) = Radius des umlaufenden Rades rG = (iN) =     

Anzahl Schleifen bzw. Spitzen: nS&S =
Anzahl Umdrehungen des Mittelpunktes des umlaufenden Rades pro Periode: nU =
Anzahl Krümmungswechsel von Trochoiden, die von Punkten zwischen Gangpolkurve und BALLscher Kurve erzeugt werden: nkMax =
(bei allen anderen Punkten ist die Anzahl: nK = 0)
Radius des BALLschen Kreises: rB =
Radius der Gangpolkurve: rG =
Anzahl Übergangskurven: nÜmax =
Minimale Anzahl an Selbstschnittpunkten: nSmin = Anzahl Selbstschnittpunkte innerhalb der Gangpolkurve (des umlaufenden Rades) =
Anzahl an Selbstschnittpunkten zwischen Gangpolkurve und Übergangskurve: nS1 =
Maximale Anzahl an Selbstschnittpunkten: nSmax = Anzahl an Selbstschnittpunkten ausserhalb der =
Radius der Übergangskurve rÜ = Abstand 'a' eines Punktes - der eine Epitrochoide mit Selbstberührungspunkt erzeugt - vom 'Mittelpunkt des Umlaufenden Rades':

Eine Epitrochoide mit einem Mehrfachselbstschnittpunkt, der kein Selbstberührungspunkt ist, existiert
Wechsel zur grafischen Darstellung und Animation von Epitrochoiden

Zusammenfassung der Links dieser Seite:

 

© Volker Jäkel, 25.10.2015

eMail: V.Jaekel@t-online.de