Hypotrochoide / Hypozykloide: Die Formenvielfalt bei einer Übersetzung von 3:1

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Es wird ein Überblick über die Formenvielfalt gegeben anhand

Um zu gewährleisten, dass alle Formen der Hypotrochoiden mit gleichem Übersetzungsverhältnis aufgezeigt werden, wird das umlaufende Rad durch Ringe ersetzt , deren Punkte ähnliche, also formgleiche Hypotrochoiden erzeugen.

Die Kreise, die die Ränder der Ringe bilden, sind bekannt. Es handelt sich um

Mindestens eine der Eigenschaften der Hypotrochoiden
  1. Anzahl der Selbstschnittpunkte
  2. Anzahl der Wendepunkte (Wechsel der Krümmungsmittelpunkte von einer Seite auf die andere Seite)
ändert sich, wenn die Hypotrochoide von Punkten benachbarter Ringe erzeugt werden.

Der äußerste Ring ist nicht eingefärbt, da er die ganze Fläche außerhalb des äußersten Kreises einnimmt (und somit bis ins Unendliche reicht)

Die Form der Hypotrochoide wechselt, wenn der die Hypotrochoide erzeugende Punkt vom Rand des Rings auf die Fläche des Rings wechselt. Das gleiche gilt, wenn er von der Fläche Rings auf den äußeren Rand wechselt. Variiert der erzeugende Punkt seine Lage innerhalb der Fläche eines Rings, ändert sich zwar die Ausprägung der Form einer Hypotrochoide, aber qualitativ ändert sie sich nicht (die verbale Beschreibung ändert sich nicht).

In der folgenden Tabelle wird abwechselnd beschrieben, wie eine Hypotrochoide aussieht,

  1. wenn deren erzeugender Punkt auf dem inneren Rand eines Rings liegt
  2. wenn deren erzeugender Punkt auf der Fläche des Rings liegt

In der Mitte aller Ringe liegt eine Scheibe, deren Mittelpunkt den inneren Rand eines "scheibenförmigen Rings" bildet. Mit diesem Mittelpunkt fängt die Tabelle an.


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Anzahl Schleifen 3
Übersetzung i=3:1
Anzahl Umläufe 1

Bemerkungen zu dem die Hypotrochoide erzeugenden Punkt
  • Bermerkungen zur Form der Hypotrochoide

Erzeugende Punkt liegt im Mittelpunkt eines Rings
Genäherte Geradführungen 0
Spitzen 0
Selbstschnittpunkte 0
Selbstberührungspunkte 0
Seitenwechsel des
Krümmungsmittelpunktes
0
Punkt ist identisch mit Mittelpunkt des Rades
  • Hypotrochoide ist ein Kreis
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings
Genäherte Geradführungen 0
Spitzen 0
Selbstschnittpunkte 0
Selbstberührungspunkte 0
Seitenwechsel des
Krümmungsmittelpunktes
0
Punkt liegt zwischen Mittelpunkt des Rades und BALLschem Kreis (BALLscher Kurve)
  • Der Krümmungsmittelpunkt der Bahn wechselt nicht die Seite.
Erzeugende Punkt liegt auf Rand eines Rings
Genäherte Geradführungen 3
Spitzen 0
Selbstschnittpunkte 0
Selbstberührungspunkte 0
Seitenwechsel des
Krümmungsmittelpunktes
0
Punkt liegt auf dem BALLschen Kreis (der BALLschen Kurve)
  • Der BALLscher Kreis befindet sich zwischen Mittelpunkt und Rand des umlaufenden Rades
  • Der Radius des Ballschen Kreises ist bei dieser Übersetzung 0.5 (multipliziert mit dem Radius des umlaufenden Rades)
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings
Genäherte Geradführungen 0
Spitzen 0
Selbstschnittpunkte 0
Selbstberührungspunkte 0
Seitenwechsel des
Krümmungsmittelpunktes
6
Punkt liegt zwischen BALLschen Kreis (BALLscher Kurve) und Gangpolkurve
Erzeugende Punkt liegt auf Rand eines Rings
Genäherte Geradführungen 0
Spitzen 3
Selbstschnittpunkte 0
Selbstberührungspunkte 0
Seitenwechsel des
Krümmungsmittelpunktes
0
Punkt liegt auf der Gangpolkurve
  • Die Gangpolkurve ist mit dem äußeren Rand des umlaufenden Rades identisch.
  • Der Radius der kreisförmigen Gangpolkurve ist 1.0 (multipliziert mit dem Radius des umlaufenden Rades)
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings
Genäherte Geradführungen 0
Spitzen 0
Selbstschnittpunkte 3
Selbstberührungspunkte 0
Seitenwechsel des
Krümmungsmittelpunktes
0
Punkt liegt außerhalb der Gangpolkurve (außerhalb des umlaufenden Rades)
  • Punkt liegt zwischen Gangpolkurve und einem Kreis um das umlaufende Rad,
    der durch den Mittelpunkt des feststehenden Rades geht.
  • Punkte auf dem Kreis des umlaufenden Rades durch den Mittelpunkt des feststehenden Rades stellen einen Sonderfall dar, bei dem alle Selbstschnittpunkte über einander liegen, weshalb auch die Form des Hypotrochoide einen Sonderfall darstellt und den Ring außerhalb der Gangpolkurve in zwei Ringe mit den gleichen Eigenschaften auftrennt.
Erzeugende Punkt ist ein Sonderfall
Genäherte Geradführungen 0
Spitzen 0
Selbstschnittpunkte 0
Mehrfach-Selbstschnittpunkte 1
Selbstberührungspunkte 0
Seitenwechsel des
Krümmungsmittelpunktes
0
Punkt liegt liegt auf einem Kreis um den Mittelpunkt des umlaufenden Rades
und durch den Mittelpunkt des feststehenden Rades
  • Der Radius dieses Kreises ist gleich dem Radius dem feststehenden Rades (3.0) minus dem Radius dem umlaufenden Rades (1.0), also 2.0 (multipliziert mit dem Radius des umlaufenden Rades)
  • Es handelt sich um einen Sonderfall. Die Eigenschaften der Hypotrochoiden von Punkten im Ring innerhalb dieses Kreies und im Ring außerhalb dieses Kreises unterscheiden sich nicht.
Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings
Genäherte Geradführungen 0
Spitzen 0
Selbstschnittpunkte 3
Selbstberührungspunkte 0
Seitenwechsel des
Krümmungsmittelpunktes
0
Punkt liegt außerhalb des Kreises um den Mittelpunkt des umlaufenden Rades und durch den Mittelpunkt des feststehenden Rades [und außerhalb der Gangpolkurve (außerhalb des umlaufenden Rades)]
  • Die Punkte dieses Rings erzeugen Trochoiden mit den gleichen Eigenschaften wie die Punkte des nächst-kleineren Rings, da beide Ringe nur durch einen Sonderfall getrennt wurden.
  • Es treten keine Übergangskurven bei diesem Übersetzungsverhältnis auf.

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© Volker Jäkel, 25.10.2015
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