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Eine Herleitung der Formenvielfalt von Epitrochoiden / Epizykloiden

von Volker Jäkel

Eine Epitrochoide ist eine (hier rot dargestellte) Kurve. Epitrochoiden werden duch das Abrollen eines (hier gelb dargestellten) Rades um ein (hier grau dargestelltes) feststehendes Rad erzeugt. Der die Kurve erzeugende Punkte kann innerhalb des gelben Rades, auf dem Rand oder (wie in der Abbildung) außerhalb des umlaufenden Rades liegen.

Die Animation startet, wenn der Cursor sich über dem Bild befindet

Die klassische Einteilung


Die klassische Einteilung reicht nicht aus, um die Formenvielfalt der Epitrochoiden zu beschreiben bzw. zu ermitteln.

Um die Formenvielfalt ermitteln zu können sind einige phänomenologische Betrachtungen zur Entstehung einer Eptitrochoide / Epizyloide notwendig:

Wer es genau wissen will, muss das Kapitel 4 meiner Dissertation Einteilung einer eben bewegten Ebene in Felder mit qualitativ gleichen Koppelpunktbahnen unter besonderer Berücksichtigung der Übergangskurve lesen. Alle notwendigen Gleichungen sind dort in der Tabelle 4.1 zusammengefasst. Für alle anderen sollten folgende phänomenologische Betrachtungen ausreichend sein:

Bahnen von Punkten nahe dem Kreismittelpunkt

                 
 
1)

 
 
2)

 
 
3)

Der Radius des BALLschen Kreises berechnet sich übrigens folgendermaßen:

Berechnungsbeispiel (editierbar)

 
Beispiel: Radius des feststehenden Rades: rR = (iZ) =

Radius des umlaufenden Rades: rG = (iN) =          

Radius des BALLschen Kreises: rB =

Bahnen von Punkten innerhalb des Randes des umlaufenden Rades

                 
 
1)

 
 
2)

 
 
3)

Bahnen von Punkten außerhalb des Randes des umlaufenden Rades

                 
 
1)

 
 
2)

 
 
3)

Bahnen von Punkten außerhalb der ersten Übergangskurve

Die folgenden Aussagen gelten nicht nur für die zweite Übergangskurve, sondern auf für alle weiteren Übergangskurven!
Damit ist der qualitative Verlauf aller Epitrochoiden beschrieben, deren erzeugende Punkte innerhalb von Übergangskurven liegen.

Alle Epitrochoiden zwischen 2 Übergangskurven haben den gleichen qualitativ Verlauf. Das gleiche gilt für alle Epitrochoiden außerhalb der äußersten Übergangskurve. Unterschiede gibt es nur in der größe der Schleifen und in der Ausdehnung der Kurven.

Die Anzahl an Selbstschnittpunkten, Selbstberührungspunkten (=0), Spitzen(=0), Geraden(=0) und Krümmungsmittelpunktwechsel (=0) bleibt also für alle Epitrochoiden gleich, deren erzeugender Punkt außerhalb der größsten Übergangskurve liegt.

Bis auf eine Ausnahme: Bei ungeraden Übersetzungsverhältnissen der erzeugenden Räder ist der Radius der Übergangskurve kleiner als der Abstand der Achsen der Räder. Bei diesen Räderpaaren tritt ein Sonderfall ein, wenn der Abstand des die Trochoide erzeugenden Punktes gleich dem Achsenabstand der Räder ist. Dann fallen viele Selbstschnittpunkte in der Achse des feststehenden Rades zusammen und bilden einen Mehrfach-Selbstschnittpunkt.

Die Epitrochoiden, deren erzeugender Punkt außerhalb der Übergangskurven liegt, aber entweder einen kleineren oder aber größeren Abstand zum Mittelpunkt des feststehenden Rades haben als die Achse des sich bewegenden Rades, unterscheiden sich qualitativ nur im Umriss des mittleren Feldes:
Es wird gebildet entweder durch konkave oder durch konvexe Kurvenabschnitte.

Da die durch Konkaven gebildeten Flächenbegrenzungen immer sehr klein sind, kann man einen Vergleich fast nur in einer Animation machen.

Berechnen der Anzahl von Selbstschnittpunkten einer Epitrochoide bzw. einer Epizykloide (editierbar)

 
Beispiel: Radius des feststehenden Rades rR = (iZ) = Radius des umlaufenden Rades rG = (iN) =     

Anzahl Schleifen bzw. Spitzen: nS&S =
Anzahl Umdrehungen des Mittelpunktes des umlaufenden Rades pro Periode: nU =
Anzahl Krümmungswechsel von Trochoiden, die von Punkten zwischen Gangpolkurve und BALLscher Kurve erzeugt werden: nkMax =
(bei allen anderen Punkten ist die Anzahl: nK = 0)
Radius des BALLschen Kreises: rB =
Radius der Gangpolkurve: rG =
Anzahl Übergangskurven: nÜmax =
Minimale Anzahl an Selbstschnittpunkten: nSmin = Anzahl Selbstschnittpunkte innerhalb der Gangpolkurve (des umlaufenden Rades) =
Anzahl an Selbstschnittpunkten zwischen Gangpolkurve und Übergangskurve: nS1 =
Maximale Anzahl an Selbstschnittpunkten: nSmax = Anzahl an Selbstschnittpunkten ausserhalb der =
Radius der Übergangskurve rÜ = Abstand 'a' eines Punktes - der eine Epitrochoide mit Selbstberührungspunkt erzeugt - vom 'Mittelpunkt des Umlaufenden Rades':

Eine Epitrochoide mit einem Mehrfachselbstschnittpunkt, der kein Selbstberührungspunkt ist, existiert

 

Zusammenfassung der Links dieser Seite:

 

© Volker Jäkel, 7.2.2024

eMail: V.Jaekel@t-online.de