Eine Herleitung der Formenvielfalt von Epitrochoiden / Epizykloiden

von Volker Jäkel

Eine Epitrochoide ist eine (hier rot dargestellte) Kurve. Epitrochoiden werden duch das Abrollen eines (hier gelb dargestellten) Rades um ein (hier grau dargestelltes) feststehendes Rad erzeugt. Der die Kurve erzeugende Punkte kann innerhalb des gelben Rades, auf dem Rand oder (wie in der Abbildung) außerhalb des umlaufenden Rades liegen.

Die Animation startet, wenn der Cursor sich über dem Bild befindet

Die klassische Einteilung

Punkte innerhalb des umlaufenden Rades erzeugen geschweifte oder verkürzte Epitrochoiden (links)
Punkte auf dem Rand des umlaufenden Rades erzeugen spitze Epitrochoiden (mitte)
Punkte außerhalb des umlaufenden Rades erzeugen verschlungene oder verlängerte Epitrochoiden (rechts)
Die Anzahl der Schleifen bzw. Spitzen ergibt sich aus dem Zähler des Übersetzungsverhältnisses i = 'Radius des feststehenden Rades' / 'Radius des umlaufenden Rades' (hier: ist i=4:3, somit sind ist Anzahl der Spitzen 4)

Die klassische Einteilung reicht nicht aus, um die Formenvielfalt der Epitrochoiden zu beschreiben bzw. zu ermitteln.

Um die Formenvielfalt ermitteln zu können sind einige phänomenologische Betrachtungen zur Entstehung einer Eptitrochoide / Epizykloide notwendig:

Wer es genau wissen will, muss das Kapitel 4 meiner Dissertation Einteilung einer eben bewegten Ebene in Felder mit qualitativ gleichen Koppelpunktbahnen unter besonderer Berücksichtigung der Übergangskurve lesen. Alle notwendigen Gleichungen sind dort in der Tabelle 4.1 zusammengefasst. Für alle anderen sollten folgende phänomenologische Betrachtungen ausreichend sein:

Alle Punkte auf einem Kreis um den Mittelpunkt des umlaufenden Rades erzeugen die gleiche (allerdings unter einem anderen Winkel geneigte) Kurve

Bahnen von Punkten nahe dem Kreismittelpunkt

Betrachten wir nun ein umlaufendes und ein feststehendes Rad mit einem festen Radienverhältnis,
(1. oder 2. Bilder-Reihe)

Der Mittelpunkt des umlaufenden Rades erzeugt einen Kreis, also eine Bahn mit konstanten Krümmungsradius
Ein Punkt in der Nachbarschaft zum Mittelpunkt erzeugt eine Bahn mit variablen Krümmungsradius, aber der Krümmungsmittelpunkt ist immer im Kurveninneren. Die Bahn entspricht also einer Rennstrecke mit ausschließlich Rechtskurven - ohne Geraden und ohne Linkskurven.
Wird der die Epitrochoide erzeugende Punkt weiter und weiter vom Mittelpunkt entfernt plaziert, wird er irgendwann eine (angenäherte) Gerade durchlaufen (in blau ist die verlägerte Gerade angedeutet). Der Krümmungsmittelpunkt wechselt aber noch nicht die Bahnseite. Die Bahn entspricht also einer Rennstrecke mit Rechtskurven und Geraden - aber ohne Linkskurven

Fährt man in der ersten Bilder-Reihe mit der Maus über ein Bild, so wird innerhalb des umlaufenden Rades eine grüne Kreisfläche eingeblendet.

Es handelt sich um einen Ring, der außen von den Punkten begrenzt wird, die ein Stück einer genäherten Geraden durchlaufen.
Diese Begrenzungslinie nennt man auch den BALLschen Kreis
Innen wird der Ring durch den Punkt begrenzt, der eine Kreisbahn erzeugt. Da der Punkt mit dem Mittelpunkt des Rings identisch ist, entartet der Ring zu einer Kreisscheibe.
Alle Punkte innerhalb des (entarteten) Rings erzeugen geschweifte Epitrochiden, deren Krümmungsmittelpunkt immer auf der gleichen Seite liegt.

Damit ist der qualitative Verlauf aller Epitrochoiden beschrieben, deren erzeugende Punkte in dem grünen vom BALLschen Kreis begrenzten Ring liegen. (sichtbar, wenn der Cursor über einem Bild in der 1. Reihe steht.)
Überraschende Epitrochoidenverläufe sind somit ausgeschlossen. Es ändert sich bei der Variation des Abstandes des eine Epitrochoide erzeugenden Punktes nur der Krümmungsradius der Epitrochide und ihre Ausdehnung. (siehe Variationen der Position des Punktes innerhalb des grünen Kreises,, wenn der Cursor über dem Bild unten steht.)

In der 2. Bilder-Reihe ist der grüne Ring leider so klein, dass er im Mittelpunkt des umlaufenden Rades verschindet

Der Radius des BALLschen Kreises berechnet sich übrigens folgendermaßen:

r_B = r _G² / (r_R+r_G)
mit r_B = Radius des BALLschen Kreises
mit r_R = Radius feststehenden Rades
mit r_G = Radius umlaufenden Rades

Berechnungsbeispiel (editierbar)

Bahnen von Punkten innerhalb des Randes des umlaufenden Rades

Betrachten wir nun den gelben Ring, der nach dem Einzeichnen des grünen Rings vom umlaufenden Rad übrig geblieben ist
(1. oder 2. Bilder-Reihe - in der 2. Bilder-Reihe ist der grüne Ring leider so klein, dass er im Mittelpunkt des umlaufenden Rades verschwindet)

Punkte auf dem inneren Rand des gelben Rings (sichtbar nur in der 1. Reihe, wenn der Cursor über dem Bild steht) erzeugen also eine Bahn mit einer (angenäherten) Geraden, deren Krümmungsmittelpunkt nicht die Seite wechselt
Punkte im inneren des gelben Rings erzeugen Epitrochoiden, deren Krümmungsmittelpunkt die Seite mehrfach wechselt. Die Bahn entspricht also einer Rennstrecke mit Rechts- und Linkskurven, aber keinen Geraden. An die Stelle der Position einer jeden (angenäherten) Geraden in Spalte 1 tritt also ein Links- und dann wieder eine Rechtskurve, also ein zweimaliger Wechsel des Krümmungsmittelpunkt auf die andere Seite der Bahn.
Wird der die Epitrochoide erzeugende Punkt auf der Radaußenkante plaziert, geht die "Linkskurve" in eine Spitze über. Die Radaußenkante ist identisch mit der (zu einem Kreis entarteten) Gangpolkurve. Von der Spitze abgesehen liegt der Krümmungsmittelpunkt jetzt immer auf der gleichen Seite - im Kurveninneren.

Damit ist der qualitative Verlauf aller Epitrochoiden beschrieben, deren erzeugende Punkte in dem gelben Ring liegen (sichtbar, wenn der Cursor über einem Bild in der 1. Reihe steht.) - also innerhalb der Gangpolkurve (innerhalb des umlaufenden Rades) und außerhalb des BALLschen Kreises (und somit außerhalb des grünen Rings) liegen.
Überraschende Epitrochoidenverläufe sind somit ausgeschlossen. Unterschiede gibt es nur in der höhe der 'Wellen' (mittleres Bild) und in der Ausdehnung der Kurven. (siehe Variationen der Position des Punktes innerhalb des gelben Rings, wenn der Cursor über dem Bild unten steht.)

Bahnen von Punkten außerhalb des Randes des umlaufenden Rades

Betrachten wir nun den Bereich, der außerhalb des gelben Rings liegt. Diese Fläche ist nicht eingefärbt. Sie bildet aber einen Ring, der bis ins Unendliche reicht.
(1. oder 2. Bilder-Reihe)

Punkte der Gangpolkurve (Punkte der Radaußenkante des umlaufenden Rades) erzeugen Epitrochoiden mit einer Spitze.
Punkte außerhalb der Gangpolkurve (Punkte außerhalb des umlaufenden Rades) erzeugen Bahnen mit Schleifen anstelle von Spitzen.
Die Krümmungsmittelpunkte dieser Epitrochoiden liegen wieder alle auf der gleichen Seite der Kurve. Mit anderen Worten, es werden nur noch Rechtskurven und weder Geraden noch Linkskurven durchlaufen.
An die Stelle der Spitzen ist jetzt die gleiche Anzahl an Schleifen und somit an (zusätzlichen) Selbstschnittpunkten getreten.
Gibt es nur eine Schleife, gibt es auch keine qualitativ anderen Verläufe der Eprochoiden durch das Verschieben des erzeugenden Punktes außerhalb der Gangpolkurve (der Lauffläche des umlaufenden Rades). Die Kurven unterscheiden sich nur noch in ihrer Ausdehnung und dem Größenverhältnis von der Schleife zum Rest der Kurve. (siehe erst Reihe)
Gibt es hingegen mehrere Schleifen, so werden sich die Schleifen irgendwann berühren, wenn der die Epitrochoide erzeugenden Punkt von der Gangpolkurve (von der Außenkante des umlaufenden Rades) nach außen verschoben wird.
Punkte, die Kurven mit Selbstberührungspunkten erzeugen, nennt man Übergangskurvenpunkte. Sie bilden gemeinsam eine Übergangskurve, die bei Epitrochoiden zu einem Kreis (einem Übergangskurvenkreis) entartet.
(Fährt man in der zweiten Bilder-Reihe mit der Maus über ein Bild, so wird außerhalb des umlaufenden Rades eine blaue kreisförmige Übergangskurven eingeblendet, die die Außenkanten von einem orangefarbenen Ring bildet. In Spalte 3 werden die 3 Selbstberührungspunkte blau dargestellt, wenn der Cursor über dem Bild ist.)

In der 2. Bilder-Reihe ist der grüne Ring leider so klein, dass er im Mittelpunkt des umlaufenden Rades verschindet

Damit ist der qualitative Verlauf aller Epitrochoiden beschrieben, deren erzeugende Punkte außerhalb der Gangpolkurve (außerhalb des umlaufenden Rades) und (falls vorhanden) innerhalb der (ersten) Übergangskurve [und somit in dem (ersten) orangen Ring] liegen. (sichtbar, wenn der Cursor über einem Bild in der 2. Reihe steht.)
Überraschende Epitrochoidenverläufe sind somit ausgeschlossen. Unterschiede gibt es nur in der größe der Schleife. (mittleres Bild) und in der Ausdehnung der Kurven.
(siehe Variationen der Position des Punktes außerhalb des gelben Rings, wenn der Cursor über einem der beiden Bilder unten steht.)

Bahnen von Punkten außerhalb der ersten Übergangskurve

Die folgenden Aussagen gelten nicht nur für die zweite Übergangskurve, sondern auf für alle weiteren Übergangskurven!

Übergangskurven (im Bild unten blau eingefäbt) haben immer einen größeren Radius als die Gangpolkurve und der Radius ist maximal so groß wie der Abstand der Mittelpunkte beider Räder. Das Bild zeigt ein Beispiel mit 3 Übergangskurven
Betrachten wir nun den Bereich, der von einer inneren (und ggf. zusätzlich durch eine äußere) Übergangskurve begrenzt wird

Punkte auf der kleineren Übergangskurve erzeugen Epitrochoiden mit Selbstberührungspunkten (Spalte 1).

Punkte außerhalb der kleineren Übergangskurve erzeugen Bahnen mit zusätzlichen Selbstschnittpunkten je Schleife - verglichen mit Punkten auf oder innerhalb der kleineren Übergangskurve.

Im Normalfall erhöht sich die Anzahl je Schleife um 2 Selbstschnittpunkten (Spalte 2)

Also 6 zusätzliche Selbstschnittpunkte in Zeile 1, demnach insgesamt 9 Selbstschnittpunkte,

Also 8 zusätzliche Selbstschnittpunkte in Zeile 2, demnach insgesamt 12 Selbstschnittpunkte

Im Sonderfall, daß die Übergangskurve durch den Mittelpunkt des feststehenden Rades geht, erhöht sich die Anzahl je Schleife nur um einen Selbstschnittpunkt. (Spalte 4)

Dieser Sonderfall tritt immer dann auf, wenn der Zähler des Übersetzungsverhältnisses gerade ist.
Alle Selbstberührungspunkte liegen in diesem Sonderfall über einander (Spalte 3) und in diesem Punkt liegen auch noch Selbstschnittpunkte, die von benachbarten Schleifen gebildet werden.
In diesem Beispiel liegen also 2 Selbstberührungspunkte und vier Selbstschnittpunkte übereinander.
Der Grund für die verminderte Erhöhung der Selbstschnittpunkte liegt daran, dass sich in diesem Fall nicht benachbarte Schleifen berühren, sondern paarweise jeweils gegenüberliegende Schleifen und damit halb so viele wie Schleifen vorhanden sind.
Bei vier benachbarten Schleifen enstehen also nur 2 Berührpunkte.
(siehe Spalte 3, in der sich zwei gegenüberliegende Schleifen grün einfärben, wenn der Cursor über dem Bild steht. Die beiden anderen sich berühren Schleifen bleiben rot.)
- Beim Vergleich mit Spalte 3 entstehen also 4 zusätzliche Selbstschnittpunkte in Spalte 4 / Zeile 2, demnach insgesamt 16 Selbstschnittpunkte

Die Anzahl an Übergangskurven ist abhängig vom Zähler des Übersetzungsverhältnisses

Die Anzahl an Übergangskurven ist unabhängig vom Nenner des Übersetzungsverhältnisses
Die Anzahl der Übergangskurven erhöht sich jedesmal, wenn beim Heraufsetzen des Zählers (des Übersetzungsverhältnisses) die nächsthöhere gerade Zahl erreicht wird. Die Anzahl ist identisch mit der Hälfte der geraden Zahl des Zählers (Zählers/2).
Die Anzahl an Übergangskurven bei ungeradem Zähler ist: (Zählers-1)/2

Damit ist der qualitative Verlauf aller Epitrochoiden beschrieben, deren erzeugende Punkte innerhalb von Übergangskurven liegen.

Alle Epitrochoiden zwischen 2 Übergangskurven haben den gleichen qualitativ Verlauf. Das gleiche gilt für alle Epitrochoiden außerhalb der äußersten Übergangskurve. Unterschiede gibt es nur in der größe der Schleifen und in der Ausdehnung der Kurven.

Die Anzahl an Selbstschnittpunkten, Selbstberührungspunkten (=0), Spitzen(=0), Geraden(=0) und Krümmungsmittelpunktwechsel (=0) bleibt also für alle Epitrochoiden gleich, deren erzeugender Punkt außerhalb der größsten Übergangskurve liegt.

Bis auf eine Ausnahme: Bei ungeraden Übersetzungsverhältnissen der erzeugenden Räder ist der Radius der Übergangskurve kleiner als der Abstand der Achsen der Räder. Bei diesen Räderpaaren tritt ein Sonderfall ein, wenn der Abstand des die Trochoide erzeugenden Punktes gleich dem Achsenabstand der Räder ist. Dann fallen viele Selbstschnittpunkte in der Achse des feststehenden Rades zusammen und bilden einen Mehrfach-Selbstschnittpunkt.

Die Epitrochoiden, deren erzeugender Punkt außerhalb der Übergangskurven liegt, aber entweder einen kleineren oder aber größeren Abstand zum Mittelpunkt des feststehenden Rades haben als die Achse des sich bewegenden Rades, unterscheiden sich qualitativ nur im Umriss des mittleren Feldes:
Es wird gebildet entweder durch konkave oder durch konvexe Kurvenabschnitte.

Da die durch Konkaven gebildeten Flächenbegrenzungen immer sehr klein sind, kann man einen Vergleich fast nur in einer Animation machen.

Berechnen der Anzahl von Selbstschnittpunkten einer Epitrochoide bzw. einer Epizykloide (editierbar)

Beispiel: Radius des feststehenden Rades r_R = (i_Z) = Radius des umlaufenden Rades r_G = (i_N) =

Anzahl Schleifen bzw. Spitzen: n_S&S =
Anzahl Umdrehungen des Mittelpunktes des umlaufenden Rades pro Periode: n_U =
Anzahl Krümmungswechsel von Trochoiden, die von Punkten zwischen Gangpolkurve und BALLscher Kurve erzeugt werden: n_kMax =
(bei allen anderen Punkten ist die Anzahl: n_K = 0)
Radius des BALLschen Kreises: r_B =
Radius der Gangpolkurve: r_G =
Anzahl Übergangskurven: n_Ümax =
Minimale Anzahl an Selbstschnittpunkten: n_Smin = Anzahl Selbstschnittpunkte innerhalb der Gangpolkurve (des umlaufenden Rades) =
Anzahl an Selbstschnittpunkten zwischen Gangpolkurve und Übergangskurve: n_S1 =
Maximale Anzahl an Selbstschnittpunkten: n_Smax = Anzahl an Selbstschnittpunkten ausserhalb der =
Radius der Übergangskurve r_Ü = Abstand 'a' eines Punktes - der eine Epitrochoide mit Selbstberührungspunkt erzeugt - vom 'Mittelpunkt des Umlaufenden Rades':

Eine Epitrochoide mit einem Mehrfachselbstschnittpunkt, der kein Selbstberührungspunkt ist, existiert

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