Hypotrochoide / Hypozykloide: Die Formenvielfalt bei einer Übersetzung von 2:1 einschließlich der Sonderform der Ellypse und Geradführung

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Es wird ein Überblick über die Formenvielfalt gegeben anhand

der Anzahl der Spitzen bzw. Schleifen
der Anzahl der genähert geradegeführten Kurvenabschnitte
der Anzahl der Selbstberührungspunkte
der Anzahl der Selbstschnittpunkte
der Anzahl der Wendepunkte (Wechsel der Krümmungsmittelpunkte von einer Seite der Hypotrochoiden auf die andere Seite)
(Wechsel von Links- und Rechtskurven)

Um zu gewährleisten, dass alle Formen der Hypotrochoiden mit gleichem Übersetzungsverhältnis aufgezeigt werden, wird das umlaufende Rad durch Ringe ersetzt , deren Punkte ähnliche, also formgleiche Hypotrochoiden erzeugen.

Die Kreise, die die Ränder der Ringe bilden, sind bekannt. Es handelt sich um

den BALLschen Kreis, dessen Punkte Epritochoiden mit genäherten Geraden durchlaufen
die Gangpolkurve, die mit der Lauffläche des Rades identisch ist und deren Punkte Epritochoiden mit Spitzen durchlaufen

die Übergangskurve, deren Punkte Epritochoiden mit Selbstberührungspunkten erzeugen. Die Anzahl der Übergangskurven variert. Sie kann 0, 1 oder eine Zahl größer als 1 sein.
(In diesem Fall ist die Anzahl gleich 0. Es gibt also keine Übergangskurve und somit entstehen auch keine Hypotrochoiden mit Selbstberührungspunkten)

Mindestens eine der Eigenschaften der Hypotrochoiden

Anzahl der Selbstschnittpunkte
Anzahl der Wendepunkte (Wechsel der Krümmungsmittelpunkte von einer Seite auf die andere Seite)

ändert sich, wenn die Hypotrochoide von Punkten benachbarter Ringe erzeugt werden.

Der äußerste Ring ist nicht eingefärbt, da er die ganze Fläche außerhalb des äußersten Kreises einnimmt (und somit bis ins Unendliche reicht)

Bei einigen Trochoiden erzeugenden Getriebe gibt es zusätzlich einen Sonderfall, bei dem sich auschließlich Selbstschnittpunkte zu einem Mehrfach-Selbstschnittpunkt überlagern. Ein solcher Sonderfall liegt hier nicht vor.

Die Form der Hypotrochoide wechselt, wenn der die Hypotrochoide erzeugende Punkt vom Rand des Rings auf die Fläche des Rings wechselt. Das gleiche gilt, wenn er von der Fläche Rings auf den äußeren Rand wechselt. Variiert der erzeugende Punkt seine Lage innerhalb der Fläche eines Rings, ändert sich zwar die Ausprägung der Form einer Hypotrochoide, aber qualitativ ändert sie sich nicht (die verbale Beschreibung ändert sich nicht).

In der folgenden Tabelle wird abwechselnd beschrieben, wie eine Hypotrochoide aussieht,

wenn deren erzeugender Punkt auf dem inneren Rand eines Rings liegt
wenn deren erzeugender Punkt auf der Fläche des Rings liegt

wenn der Punkt auf dem äußeren Rand eines Rings liegt, liegt er gleichzeitig auf dem inneren Rand des nächstgrößeren Rings. Somit folgt auf die Beschreibung 2 die Beschreibung 1 des nächstgrößeren Rings

In der Mitte aller Ringe liegt eine Scheibe, deren Mittelpunkt den inneren Rand eines "scheibenförmigen Rings" bildet. Mit diesem Mittelpunkt fängt die Tabelle an.

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Anzahl Schleifen 2

Übersetzung i=2:1

Anzahl Umläufe 1

Bemerkungen zu dem die Hypotrochoide erzeugenden Punkt

Bermerkungen zur Form der Hypotrochoide

Erzeugende Punkt liegt im Mittelpunkt eines Rings

Genäherte Geradführungen 0

Spitzen 0

Selbstschnittpunkte 0

Selbstberührungspunkte 0

Seitenwechsel des
Krümmungsmittelpunktes 0

Punkt ist identisch mit Mittelpunkt des Rades

Hypotrochoide ist ein Kreis

Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings

Genäherte Geradführungen 0

Spitzen 0

Selbstschnittpunkte 0

Selbstberührungspunkte 0

Seitenwechsel des
Krümmungsmittelpunktes 0

Punkt liegt zwischen Mittelpunkt des Rades und BALLschem Kreis (BALLscher Kurve)

Der Krümmungsmittelpunkt der Bahn wechselt nicht die Seite.

Erzeugende Punkt liegt auf Rand eines Rings

Genäherte Geradführungen 2

Spitzen 2

Selbstschnittpunkte 0

Selbstberührungspunkte 0

Seitenwechsel des
Krümmungsmittelpunktes 0

Punkt liegt auf dem BALLschen Kreis (der BALLschen Kurve)

Der BALLscher Kreis befindet sich zwischen Mittelpunkt und Rand des umlaufenden Rades

In diesem Sonderfall ist der BALLsche Kreis mit dem Rand des umlaufenden Rades identisch

Das bedeutet gleichzeitig, dass der BALLsche Kreis mit der Gangpolkurve identisch ist

Punkte auf der Gangpolkurve erzeugen Spitzen

In diesem Fall handelt es sich nicht nur um genäherte Geradführungen, es sind echte Geraden.

Der Radius des Ballschen Kreises ist bei dieser Übersetzung 1 (multipliziert mit dem Radius des umlaufenden Rades)

Erzeugende Punkt liegt auf Fläche eines Rings

Genäherte Geradführungen 0

Spitzen 0

Selbstschnittpunkte 0

Selbstberührungspunkte 0

Seitenwechsel des
Krümmungsmittelpunktes 0

Punkt liegt außerhalb der Gangpolkurve (außerhalb des umlaufenden Rades)

Es treten keine Übergangskurven bei diesem Übersetzungsverhältnis auf.

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